当热力学悖论化身为量子热机

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在所有物理学定律中，只有热力学第二定律能够帮助我们区分过去与未来，这“时间之箭”究竟缘何而生？量子尺度上的随机涨落，是否打破了时间流逝的方向？当熵的概念揭示了信息与热量的联系，是否可以借助信息流来驱动热机？

撰文 | 董唯元

量子热机是近来异常活跃的研究课题之一，其理论探索也在不断取得进展，现在已经成为综合传统热力学、非平衡热力学、量子统计、量子多体理论甚至量子信息等多学科的跨界前沿。

准平衡态热机为何存在效率上限？

谈到量子热机，普通人第一反应或许是把现有发动机缩小到量子尺度。事实上，确实已经有研究团队仅用5个原子就拼装出了一台热机^[1]，这台甲烷分子大小的机器不仅可以在常温下工作，而且实测输出效率能达到42%之高，以至于2019年底这一成果在《物理评论快报》（PRL）发表时，还荣获“编辑推荐”。不熟悉热机的读者也许会对42%这个效率不以为然，但其实这台机器的理论效率上限也只有44%而已。

那么问题来了。为什么理论上限这么低呢？这就要从热机的基本工作原理说起了。就像水电站利用水的落差发电一样，传统准平衡态热机都是利用温差推动的热量流动，再配合热力学循环向外做功。那台“甲烷分子发动机”虽然是用碳原子自旋能级变动替换了传统的热源和冷源，但基本原理仍然是利用一种热力学循环——奥托循环，向外做功。

在传统热力学中，热力学循环描述了热机的运转过程，热机从热源吸收热量，做功物质膨胀对外做功，最后将热量通过冷源释放。奥托循环和卡诺循环都是物理学家构建的理想化的热力学循环。右图中从红线开始沿顺时针方向，可以看到奥托循环的一个周期包括定容吸热、绝热膨胀、定容放热、绝热压缩四个过程（绝热过程熵不变，定容过程中燃料体积不变），卡诺循环的一个周期包括等温吸热、绝热膨胀、等温放热、绝热压缩四个过程。其中蓝色线条表示的放热过程是熵减过程。

从图中可以看出，无论奥托循环、卡诺循环，亦或其他的热力学循环，都不得不包含一个熵减过程。限制热机整体输出效率的所有秘密，几乎都包含在这里。而理论上的突破路径，则暗藏在一些古老的热力学悖论之中。

麦克斯韦妖

1871年麦克斯韦构想了一个思想实验，貌似实现了一个仅依靠单一热源凭空向外做功的系统，这就是著名的麦克斯韦妖（Maxwell's demon）假想实验。

在一个热平衡的封闭盒子中间放入挡板，将盒子分隔为A和B两个部分。挡板上有一个可以开关的小门，由妖精把守着。妖精知晓盒子中所有分子的平均速度，并以此为标准操控小门的开关。当A中有速度大于平均值的分子飞向小门时，妖精开启小门放行，反之则关闭；而当B中有高速分子飞来时，妖精会关闭小门，反之则打开。如此操作一段时间之后，A中分子的平均速度下降，即温度下降；B中的温度则会升高。这样妖精就在原本无温差的A和B两个盒子之间，凭空制造出温度差。而这个温度差就可以用来对外做功！

在很长一段时间内，物理学家对这只小妖是否违反热力学定律，以及它是否无中生有地创造了能量等等一系列问题都没有理清头绪。1929年左右，开始有物理学家朦胧地认识到，那些潜在的能量来源应该与小妖所掌握的信息有关。但这个思想实验中信息与能量之间的明确量化关系，直到1961年才由IBM公司的兰道尔（Rolf Landauer，1927-1999）发现。

兰道尔在研究计算过程的热学问题时发现，对于加法或减法这一类可逆计算过程，其能耗原则上可以无限降低，但唯独信息擦除这一过程，存在一个理论上的能耗下限：每擦除1比特信息，理论上至少要产生 k_BTIn2 这么多的热量耗散。这就是连接信息学和热力学的兰道尔原理（Landauer’s principle）。

1982年，兰道尔的同事Charles Bennett将这一原理应用到了麦克斯韦妖思想实验中，终于在这只妖精111岁高龄之年彻底降服了它。原来，此前大家忽视了一个问题：麦克斯韦妖的信息记录能力不可能具备无限容量。事实上小妖所记录的信息状态本身就是做功媒介的一部分，也必须参与到往复循环之中。因此当妖精所掌握的信息回归初始状态时，必须要经过信息擦除过程。这就说明小妖对外所做的功并不是免费的午餐，而是需要不断给小妖提供能量，以支付其信息擦除的能耗成本。

从热力学循环的角度审视，麦克斯韦妖的信息处理和反馈控制，某种程度上充当了“冷源”的角色。传统热力学循环中的熵减过程，刚好也就对应麦克斯韦妖的信息擦除过程。

随着谜团被解开，研究者们也终于认清了麦克斯韦妖热机整体上仍然严格遵守热力学第二定律。也正因如此，其输出效率较之传统热机虽然有了更多提升空间，但熵减过程仍有不可消除的能耗成本存在。

那么，为了进一步提升效率，我们是否有机会挑战这个熵增定律本身呢？其实150年前麦克斯韦提出这个小妖的目的，本来就是为了质疑熵增定律，只是在兰道尔原理的阻拦下才无功而返。不过针对熵增定律的质疑，可不只有麦克斯韦妖。

从时间反演对称性到“时间之箭”

1876年，物理学家洛施密特（Johann Josef Loschmidt，1821-1895）向他的论敌玻尔兹曼（Ludwig Boltzmann，1844-1906）抛出了一个问题：既然基础动力学方程都具备时间反演对称性，为什么由这些基本规律推导出的热力学第二定律，却莫名其妙地具备了不对称的时间指向呢？这个问题，就是此后一直萦绕在几代物理学家心头的洛施密特悖论（Loschmidt's paradox）。

这个关于“时间之箭”的来源问题，自产生至今百多年的时间里，一直被反复争论。起初研究者将注意力集中在导出熵增定律的两条基本假设前提：“各态可遍历性”和“概率均等性”。直到1993年，澳大利亚物理学家Denis Evans才明确指出，其实推导熵增定律还需要第三个条件——因果关系（causality），而正是这隐含的因果关系产生了“时间之箭”^[3]。

可是，这个哲学味道浓重的话题与热机之间有什么关系呢？不仅有关系，而且关系还很大。

对“时间之箭”的探索催生了一系列非平衡态和随机涨落问题的研究，并自二十世纪九十年代起接连取得很多重要成果。这些理论中大多都包含“Fluctuation Theorem”字样，所以一般都统称为FT理论，例如issipation Theorem）、Jarzynski等式、Crooks涨落定理（Crooks Fluctuation Theorem）、Gallavotti-Cohen涨落定理（Gallavotti-Cohen Fluctuation Theorem）等等。其中一些又都得益于Evans的理论成果，所以后来Evans索性直接把自己的理论命名为涨落定理^[4]（Fluctuation Theorem）。

FT理论相当好地补充扩展了热力学第二定律，使人们清楚地看到，严格的熵增规律只在宏观上对准平衡态过程才成立，而在小尺度短时间内，系统完全可能偏离平衡态，发生局部自发熵减过程。对整天想方设法提升热机效率的研究者来说，自发的熵减过程就是天赐的免费午餐。从前苦于熵增定律严格把守，只能老老实实支付成本换取熵减，而如今FT理论却说可以趁系统不注意免费自取，岂不美哉！

不过事情并没有第一眼看上去那么美好。尽管FT理论发现了自发熵减的机会，但同时也显示这种局部闪现的“免费午餐”并不那么容易吃到嘴里。当做功物质由任人摆布的石头变成上蹿下跳的熊孩子，如何让熊孩子能听从指挥就会变成惹人头疼的新问题。德国物理学家Udo Seifert专门系统地研究了随机热力学中成本与精准度的关系，并将成果在2017年发表了出来^[5]，帮助其他研究者认识到了这种免费午餐背后隐藏的附加成本。

如何利用FT理论中的天赐局部熵减，以及如何接近甚至突破兰道尔原理限定的理论成本极限，这是一个至今仍在火热探索中的主题，而且波及的范围远远超出了热力学甚至整个物理学的范围，在生命科学等其他应用学科也吸引了广泛的注意。

从经典走向量子

前面提到的麦克斯韦妖、兰道尔定理和FT理论等，都还是以经典模型为基础的理论，其本身并未包含任何量子世界那些特殊的神奇效应，只是量子热机的研究者与其他领域研究者共享的理论武装。那么像量子纠缠、波函数塌缩这类已经在量子计算技术中大放异彩的独特属性，是否也能为量子热机理论提供一些独门绝活呢？

其实FT理论兴旺发展的领域之一，就是尝试彻底抛弃牛顿力学，从量子理论出发彻底重建热力学的基本定律，即所谓量子FT理论。还记得“各态可遍历性”和“概率均等性”那两条假设吗？在以牛顿力学为基础的热力学中，这两条假设只能凭借物理学家的直觉，略显生硬地直接使用。这使得严谨的理论工作者总是心有不安，尤其是在讨论远离平衡态的随机过程时，假设的引入更显得缺乏说服力。后来正是由于量子理论的介入，确切地说，就是从纠缠关系入手，人们才重新明确了上述假设的成立条件和适用范围。

除了为传统理论修补加固基础，量子理论与热力学的结合也催生出一些有趣的新型热机形式。

2017年，美国研究者Cyril Elouard在《自然》上发表了一篇论文^[6]，颇具创意地将量子测量作为一种“加热”手段，替代热机中的热源，并基于此提出了一种全新的由量子测量驱动的热机理论框架。其原理主要是依靠量子测量过程的特殊演化过程，这类演化在某种程度上为被测量对象提供了额外的信息和能量。如果持续进行测量，就会使原本“懒惰”的系统被迫时刻处于“勤奋”状态。

其实量子测量对系统产生的影响很早就被人们认识到了，比如神奇的“量子芝诺效应”就是利用高频持续测量，使原本不稳定的粒子一直保持不衰变。不过量子测量与热机的结合，尤其是与麦克斯韦妖热机的结合，还是使人眼前一亮，因为这种测量驱动的热机似乎揭示了一个新的方向：用纯信息流替代热量流，在不依赖特定热源的条件下做功。若能得以实现，那么未来量子热机的工作环境条件将得到极大的拓展。

当然纯粹信息流驱动的热机相关理论还处在不断摸索讨论之中，尤其是涉及到量子测量本身的物理内涵和诠释这部分，还有很多待挖掘的宝藏。

伊利泽-威德曼炸弹

课本上的量子理论告诉我们，测量过程会对被测对象的状态产生不可逆转的影响。那么是否有办法在不影响被测对象的前提下进行测量呢？1993年，两位以色列物理学家Avshalom Elitzur和Lev Vaidman就出于对零作用测量（Interaction-free measurement）问题的探索，提出了伊利泽-威德曼炸弹（Elitzur-Vaidman bomb）测试问题^[7]。

假设若干炸弹中，有些会吸收光子并在吸收到光子后爆炸，另有些不会吸收光子，姑且称之为透明哑弹。两种炸弹混在一起之后，是否有办法不引爆炸弹而分辨出来呢？如果从经典物理的视角看，这显然根本做不到，但神奇的量子理论居然真的可以提供一种零作用测量手段。

测量的工具是理论物理学家们很熟悉的Mach-Zehnder干涉仪，与著名的惠勒延迟选择实验中的设备完全一样。整套设备中，两个反射镜和两个半反半透镜，将入射光拆分成反射光和透射光两条路径，在每条光路末端各有一个光子接收检测端A和B。当光路上没有任何阻挡时，光子会同时经过上下两条路径，并在第二个半反半透镜处发生干涉，通过调节光程可以控制干涉，使A检测器100%能够接收到光，B始终接收不到光。这时如果阻挡其中一条光路，只剩下一条路径的光到达第二个半反半透镜，那么A和B接收到光子的概率变成了各50%。

一个光子在面对半反半透镜时，有一半的概率被反射，一半的概率透过镜子。如果在两条路径上不进行测量，则光子处于两种状态的量子叠加态。如果其中一条路径上进行测量，则叠加态被破坏发生塌缩。

下面我们就可以鼓起勇气，把炸弹放入其中一条光路进行分类测试了。

不难看出，如果放入的是透明哑弹，它不会吸收光子，那么什么事情都不会发生，A依然100%闪亮，B依然100%漆黑。

如果放入的是真炸弹，那么由于确实有50%的不幸概率，光子刚巧会选择这条光路，这种情况下大家就会一起被炸飞，只能在灵魂升天的时候默默发誓下辈子不再研究物理；但也有50%的幸运机会光子没有走这条光路，于是炸弹没有爆炸，总体而言，这时A和B就各有25%的概率看到闪光。

总结一下，当你看到原本应该漆黑一片的B中忽然出现闪光的时候，你就应该庆幸自己躲过了一次被炸死的机会，同时非常确信地知道，当前光路上这颗炸弹是可爆弹。

这个思想实验虽然构思得既刺激又残忍，但它所彰显的物理内涵却颇具深意：由于纠缠关系的存在，对一处进行的测量（设备B对光子的探测）居然可以超距影响另一处的信息状态（炸弹是否可爆炸）。再联想前面提到的测量驱动的热机，几乎使人立刻领悟到纠缠关系应该可以用来作为“齿轮”，来实现超距“加热”或者传输功。

2019年，又是Cyril Elouard继提出测量驱动的量子热机之后，再次借助这个炸弹思想实验，向人们展示了以纠缠为“齿轮”的超距加热能力^[8]。Cyril Elouard的论述几乎原样照搬了前述所有条件，只是将其中炸弹的状态也变成量子叠加态。在没有光子入射时，量子炸弹处于“既在下光路又不在下光路”的叠加态。而如前所述，一个行走在上光路的光子将对炸弹的状态产生影响，使其叠加态发生塌缩，也就是使炸弹的信息（能量）增加。这就相当于相当于行走在天上的光子，“加热”了蹲在地上的量子炸弹。

开不完的脑洞

量子热机的理论模型已经发展得颇具玄幻色彩，不仅从头到脚以信息流替代热量流，而且还能够像气功大师一样隔山打牛，但是研究者们的脑洞还依然不愿停歇。在2020年3月的《物理评论快报》（PRL）上，一个新加坡研究团队提出了一种构想，似乎可以在一定程度上规避兰道尔原理限定的信息擦除成本，或者至少是将信息擦除成本从热机系统中转移出来^[9]。

论文中作者以最简单的一维谐振子作为媒介，将系统受激后的高能级状态转化为宏观可见的指针指示。注意，这里并不是比喻意义上的指针，而是真实的指针。这样借助这种指针的指示，任何一个站在仪表前的普通人或者宏观设备，都可以直接扮演麦克斯韦妖的角色，根据当前的状态做出相应的反馈动作。

作者并没有在论文中断言这种方式一定可以彻底消除兰道尔擦除成本，不过他们希望通过这个具体而有趣的模型，至少可以敦促其他研究者继续深入探究围绕量子热机的一系列基础问题。

参考文献

[1] DOI: 10.1103/PhysRevLett.123.240601

[2] Elouard, C., Herrera-Martí, D.A., Clusel, M. et al. The role of quantum measurement in stochastic thermodynamics. npj Quantum Inf 3, 9 (2017). https://doi.org/10.1038/s41534-017-0008-4

[3] Denis J. Evans, E.G.D. Cohen & G.P. Morriss (1993). "Probability of second law violations in shearing steady states". Physical Review Letters. 71 (15): 2401–2404. Bibcode:1993PhRvL..71.2401E. doi:10.1103/PhysRevLett.71.2401. PMID 10054671

[4] Denis J. Evans & Debra J. Searles (2002). "The Fluctuation Theorem". Advances in Physics. 51 (7): 1529–1585. Bibcode:2002AdPhy..51.1529E. doi:10.1080/00018730210155133

[5] arXiv:1707.03759 [cond-mat.stat-mech] DOI:10.1016/j.physa.2017.10.024

[6] C. Elouard, D. A. Herrera-Martí, M. Clusel, and A. Auffe`ves, npj Quantum Inf. 3, 9 (2017).

[7] Elitzur, Avshalom C.; Lev Vaidman. Quantum mechanical interaction-free measurements. Foundations of Physics. 1993, 23 (7): 987–997 [2014-04-01].

[8] C. Elouard, M. Waegell, B. Huard, and A. N. Jordan, "Spooky Work at a Distance: An Interaction-Free Quantum Measurement Driven Engine," in Rochester Conference on Coherence and Quantum Optics (CQO-11), OSA Technical Digest (Optical Society of America, 2019), paper M5A.3.

[9] DOI: 10.1103/PhysRevLett.124.100603

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